Похідна та її застосування

Тип: Курсова.
Наука: Математика.
Формат: doc.
К-сть сторінок: 27.
Короткий опис:

ЗМІСТ
1. ОСНОВНІ ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ
1.1. Загальні поняття
1.2. Екстремуми функції
1.3. Зростання та спадання функції
1.4. Найбільше та найменше значення функції
2. ЗАСТОСУВАННЯ ПОХІДНОЇ
2.1. Правила диференціювання
2.2. Дослідження функції та побудова графіка
2.3. Застосування похідної для розв’язування рівнянь
СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ

1. ОСНОВНІ ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ

1.1. Загальні поняття

Похідна — основне поняття диференційного числення, що характеризує швидкість зміни функції. Визначається як границя відношення приросту функції до приросту її аргументу коли приріст аргументу прямує до нуля (якщо така границя існує). Функцію, що має кінцеву похідну, називають диференційовною.

Визначення

Нехай в деякому околі точки x0 визначена функція f. Якщо ми візьмемо довільне число x в цьому околі, то приріст аргументу (позначається Δx) в цьому випадку визначається як x-x0, а приріст функції (Δy) — як f(x)-f(x0). Тоді, якщо існує границя Δy / Δx, то її звуть похідною функції f в точці x0.

Похідною функцією даної функції називається функція, що в будь-якій точці області визначення дорівнює похідній даної функції в цій точці.

Позначення

Похідна позначається як f'(x), що вимовляється «еф-штрих від ікс».

Функція, що має кінцеву похідну в точці x, зветься диференційованою в точці x.

Похідна також позначається, як відношення диференціалів df/dx. В фізиці для позначення похідних по часу використовують крапку над змінною, наприклад q = dq/dt.

Приклад знаходження похідної за визначенням

Нехай є функція y=c, де c — деяка константа. Тоді при будь-якому x0 та при будь-якому Δx зміна (приріст) функції дорівнюватиме нулю, отже і похідна такої функції дорівнюватиме нулю.

Похідні вищих порядків

Поняття похідної довільного порядку задається рекурентно:

• похідна нульового порядку — сама функція

• похідна n-го порядку для натурального n, що більше 0, — похідна похідної (n-1)-го порядку

Іноді замість «похідна n-го порядку» говорять «n-а похідна».

rar

 Завантажити